Il recente sviluppo della "Quantum Information Processing" sta dando un forte impeto allo sviluppo di strategie e strumenti atti alla manipolazione di sistemi fisici a livello quantistico. L'applicazione della teoria del controllo ai sistemi quantistici e' l'argomento di questo progetto.

Per sistemi quantistici a dimensione finita, il problema della controllabilita` si riduce essenzialmente allo studio di sistemi bilineari di controllo su gruppi (sistemi chiusi) o semigruppi (sistemi aperti) di Lie [Al02, Al03, AD02, AD07]. Caratterizzazioni complete si ottengono inoltre per modelli di n  particelle interagenti a spin 1/2 immerse in un campo elettro-magnetico.

Nel caso infinito dimensionale, fino ad ora gli unici risultati (positivi) di controllabilita' si sono ottenuti trattando per una buca di potenziale infinita, (utilizzando il ``return method'' di Jean-Michel Coron e il teorema di Nash Moser, vedi [BC06]) e nell'approssimazione adiabatica [AB05].

In problemi di sintesi, la teoria del controllo ottimo su gruppi di Lie e spazi omogenei e' stata applicata recentemente al trasporto efficiente di popolazione tra diversi livelli energetici in sistemi a dimensione finita. In [BCC05] ad es., tecniche di geometria subriemmaniana su gruppi di Lie, e di sintesi ottima su varieta` bidimensionali sono state usate per un problema a tre livelli con due campi esterni. Strategie alternative si basano su model-based feedback e strategie adiabatiche [FPR02, TFP04].

Per i sistemi quantistici, il processo di misura e` invasivo e perturba stocasticamente lo stato del sistema, complicando l'impiego di strategie di controllo in catena chiusa. L'effetto di un processo di misura debole  si puo` rappresentare tramite un'equazione differenziale stocastica ricavata formalmente dalla teoria del filtraggio quantistico. Il condizionamento dovuto alla misura si puo` utilizzare per influenzare in tempo reale il collasso della funzione d'onda.

Si e' anche affrontato il  problema di stimare lo stato e i parametri di un sistema quantistico a partire da osservazioni di valori medi di osservabili [AD05], caratterizzando i modelli  equivalenti date le osservazioni. In particolare per i sistemi di n particelle di spin interagenti vengono completamente determinate le classi di equivalenza.

 

Recentemente in [AC05] si e' ottenuta una stima del tempo minimo necessario per raggiungere ogni punto di SU(n) per sistemi quantistici finito dimensionali. Intendiamo applicare questo risultato alla controllabilita' nel caso infinito dimensionale in cui l'operatore "controllato" ha spettro discreto (approssimazione di Galerkin). Intendiamo inoltre dimostrare risultati di controllabilita' con tecniche adiabatiche, in particolare per sistemi in dimensione uno, con potenziali simmetrici in cui il controllo e` l'ampiezza di un'interazione puntuale.

le tecniche costruttive sviluppate in [GZ06] per l'interpolazione olonoma verranno applicate a problemi quantistici (con drift) di inseguimento di una traiettoria data.

Si cerchera` di ottenere una legge di feedback (basata su un'opportuna condizione stocastica di Lyapunov) atta a creare un attrattore globale in probabilita` per il sistema con retroazione dalla misura debole. Verra` inoltre valutato anche il comportamento in aspettazione dell'equazione stocastica ottenuta e la possibilita` di ricondurla a un'equazione maestra nel limite markoviano.

 

 

Nel completare la parte scientifica ci avverremo delle numerose collaborazioni con gruppi teorici e sperimentali gia` avviate:

 

 

In particolare, Domenico D'Alessandro e Lorenza Viola saranno invitati in qualita` di professori visitatori presso l'Universita` di Padova.

Parte dei lavori saranno presentati in apposite sessioni ad invito nelle maggiori conferenze periodiche, con il supporto dei fondi missione. I membri del gruppo hanno gia` svolto tale compito in numerose conferenze negli ultimi anni (Conf. on Decision and Control '02, '03, '06, Physics and Control Conf. '03, '05,'07). Prevediamo inoltre di organizzare anche una giornata congiunta di lavoro ed una serie di seminari incrociati tra le unita`.

 

 

[AB05] R. Adami, U. Boscain, Controllability of the Schroedinger Equation via Intersection of Eigenvalues, Proc. 44rd IEEE Conf. Dec. Contr. 2005.

[AC06] A. Agrachev and T. Chambrion. An estimation of the controllability time for single-input systems on compact groups. J. ESAIM:COCV, 12 2006.

[AD02] F. Albertini e D. D'Alessandro, The Lie Algebra Structure and  Controllability of Spin Systems, LAA, 350, 2002.[AD05] F. Albertini e D. D'Alessandro, Model Identification for  Spin Networks, LAA, 394, 2005.

[AD07]  F. Albertini e D.D'Alessandro, Quantum Symmetries and Cartan Decompositions in Arbitrary Dimensions, J. Phys. A, Math. Theor. 40, 10, 2007.

[Al02] C. Altafini. Controllability of quantum mechanical systems by root space decomposition of su(N), J. Math. Phys., 43, 2002.

[Al03] C. Altafini. Controllability propertiers for finite dimensional quantum Markovian master equations. J. Math Phys., 44, 2003.

 [BC06] K. Beauchard and J.M. Coron, Controllability of a quantum particle in a moving potential well, J. Funct. Anal., 232, 2006.

[BCC05] U. Boscain, T. Chambrion, G. Charlot, Nonisotropic 3-level quantum systems: complete solutions for minimum time and minimum energy. Discr. Cont. Dyn. Syst. Ser. B 5, 2005.

[DPA07] D.  D'Alessandro, G. Parlangeli e F. Albertini, Non-stationary Quantum Walks on the Cycle, da pubblicare su J. Phys. A, Math. Theor.

[FPR02] A. Ferrante, M. Pavon, G. Raccanelli, Control of quantum systems using model-based feedback strategies, MTNS Proc., 2002.

[GZ06] J. P. Gauthier, V. Zakalyukin, On the motion planning problem, Complexity, Entropy and non-holonomic interpolation, J. Dyn. Contr. Sys., 2006.

[TFP04] F. Ticozzi, A. Ferrante and M. Pavon, Robust Steering of n-level Quantum Systems, IEEE Trans. Aut. Control, 49, 2004.